行列に並ぶ確率はカンタンに予測できる「待ち行列理論」

人気店や遊園地に付きものなのが待ち行列。できれば待たずに済ませたいが、せめて自分の番が何分後か知れればイライラも減るだろう。

行列の待ち時間は、列に加わる人数と1人にかかる時間で割り出されるから、意外と簡単に計算できる。ちょっと複雑な式にチャレンジすれば、待たずに座れる確率も計算できるのだ。

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偉大でリトルな法則

行列の待ち時間を求める計算は「待ち行列理論」と呼ばれ、立派な学問として研究されている。もっとも分かりやすいのがリトルの法則で、L＝λ×Wのたった3つの要素で表される。それぞれの記号は、

・L　…　店中の客数（人）

・λ　…　入店する人の割合（人/時間）

・W　…　店内で過ごす時間（時間）

を表す。レストランを例にすると、1時間に10人が店に入り、店内で過ごす時間が2時間だった場合、店内で食事をしている人数は、（10人/時間）×（2時間）＝20人となる。

店内の客数を行列の人数に、入店する人を行列に加わる人に置き換えると、店内で過ごす時間＝入店までの待ち時間に変わるので、

・L　…　行列の人数（人）

・λ　…　行列に加わる人の割合（人/時間）

・W　…　自分の番までの時間（時間）

と考えると、あと何分待てば自分の番がくるか求められる。行列の100人目で、毎分5人のペースで行列が伸びる場合、店に入れるまでの時間WはL÷λとなるので、100÷5＝20（分）後だ。

少し式を簡単にすると、（待ち時間）＝（自分の前に並んでいる人数）÷（1分間に行列に加わった人数）となるので、もし自分が25番目で、自分の後ろに毎分2人の割合で並ぶ行列なら、店に入れるのは25÷2=12.5分後だ。

何やらスゴい計算をしているように思えるかも知れないが、遊園地のアトラクションの待ち時間なら分かりやすいだろう。例えばジェットコースターの待ち行列なら、自分の順番が来るまでの時間は、（自分の前に並んでいる人数）÷（1回に乗れる人数）から、何回目のジェットコースターに乗れるかが分かる。

これに（1回にかかる時間）をかけ算して、待ち時間を求められるのと同じだ。

スゴいぞリトル。イライラもリトルになりそうだ。

待合室のイスは何脚？

リトルの法則は結果から逆算しているので、待たずに入店できる確率までは分からない。そこで、店内で過ごす時間（L）、次の客が入店するまでの時間（K）、店内にいる人数（P）、これに自然対数の底（約2.718）を使い、

（（L÷K）のP乗）÷（Pの階乗）×（2.718のマイナス（L÷K）乗）

の式で、店内にP人いる確率が求められる。少々複雑な式なので説明は省略するが、興味のある方は表計算ソフトで試していただきたい。

仮に店で過ごす時間（L）を2時間、次の客が来る(K)のが1時間後とすると、2時間に1人の割合で待つ人が増えるはずだから、行列の絶えない店に思える。ところが、この式で店内にいる人数と確率を求めると、

・0人　…　13.53％

・1人　…　27.07％

・2人　…　27.07％

・3人　…　18.04％

・4人　…　9.02％

・5人　…　3.61％

となる。もし4席なら、店内に0～3人いる確率は13.53＋27.07＋27.07＋18.04＝85.71％となるので、最後の一席に座れる確率はおよそ15％となる。同様に、4人満席になっている確率は94.73％なので、20分の1程度の確率で待たずに済むことになる。

同様に計算すると、5人目が来る確率は3.61%、6人は1.20%となるので、残念ながらこの店には長蛇の列ができる可能性はほとんどない。そもそも、お客が0人の確率が14％近くもあるのだから、行列どころの話ではない。

まとめると、店の席数、待ち行列の人数、行列が増えるペース、店内で過ごす時間の4つから、

・待たずに座れるか

・行列に加わった場合、自分の番は何分後か

がわかる。奇妙な光景だが、ストップウォッチと電卓持参なら、人気店でもイライラせずに待てるのだ。

まとめ

生来の短気のせいで、行列と聞いただけでリタイアしていたが、待ち時間が分かれば我慢できそうだ。

つぎの課題は、どうやって時間をツブすかだ。有効なヒマつぶし理論を探すことにしよう。

(関口　寿/ガリレオワークス)

※この記事は2013年11月10日に公開されたものです