永久になくならないパンの食べ方―数学のパラドックス

食料は食べれば減るのが世の常。金のなる木ではないが、毎日勝手に増えてくれる食料があったらどんなに楽だろうか。

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減らないごはんも増える味噌汁も存在するはずはないのだが、食べ方を工夫すれば永久になくなることはない。たった1枚のパンでも、毎日半分だけ食べれば、永久に食べ続けることができるのだ。

食べてもなくならないパン

【問題】

1枚の食パンがある。最初に半分を食べ、次の日以降は毎日残りの半分を食べた場合、パンは何日でなくなるか？

【答え】

永久になくならない。

食べられるパンの量は、初日が2分の1、2日目は残りの半分＝（1－2分の1）の2分の1とだんだん少なくなってしまうが、確実に減っているのだから、いつかなくなるのが道理に思える。

食べる量を整理すると、

・初日　…　0.5（2分の1）

・2日目　…　0.25（4分の1）

・3日目　…　0.125（8分の1）

で、スタートからわずか3日間で87.5％（＝8分の7）も減ってしまい、明らかに飛ばし過ぎだ。4日目の16分の1、5日目の32分の1も合計すると、5日間で食べる量は32分の31にも及び、ほとんど残らない。

それでも永久に食べられるのはなぜか？　ポイントは食べる量が「残りの半分」と決めている点だ。例えば100グラムのパンを1グラムずつ食べれば100日、半分の0.5グラムに抑えても200日でなくなってしまう。

対して「残りの半分」のルールでは、毎日食べる量が減ってしまうものの、単純な割り算で残り日数が計算できない。

このような問題はパラドックスとも呼ばれ、食べれば減る、減れば無くなる、と誰もが持つ先入観を利用したトリックだ。「半分食べる」＝「半分残す」と言い換えれば、永久になくならないことに気づくだろう。月日を重ねるうちに、量は限りなくゼロに近づくが、毎日半分残すのだから永久にゼロにはならない。

最後までカビることなく、おいしく食べられるパンが手に入ったら、ぜひとも試してみたい食べ方だ。

カメに追いつけないうさぎ

【問題】

うさぎがカメを追いかける。先行しているカメとの距離は100kmで、足の速いうさぎは1時間ごとに距離を半分に縮める。うさぎがカメに追いつくのは何時間後か？

【答え】

永久に追いつかない。

これはゼノンのパラドックスとも呼ばれる代表的な問題だ。もしうさぎとカメの速さが分かっていれば、距離の差÷速度の差＝追いつくまでの時間、で計算することができる。かりに、

・うさぎ　…　時速20km

・カメ　…　時速10km

なら、100÷（20－10）＝10時間後に追いつく計算となる。

本当に追いつくのか確認してみよう。うさぎとカメが10時間で移動する距離を求めると、

・うさぎ　…　時速20km×10時間＝200km

・カメ　…　時速10km×10時間＝100km

カメのスタート地点はうさぎの100km先なので、10時間後にいる位置は100＋100＝200km先となり、うさぎと一致する。

ゼノンのパラドックスの場合、経過時間と両者の距離をあげると、

・1時間後　…　50km

・2時間後　…　25km

・3時間後　…　12.5km

と、どんどん近づいているようにみえる。5時間後なら100km×（2分の1の5乗）で、3km強まで追い詰めることになる。このまま続けていくと、24時間後にはわずか6ミリまで近づくのだ。

ただし永久に追いつかない。それ以降も1時間ごとに半分に近づき、3ミリ、1.5ミリ、0.75ミリと間を詰めるものの、いつまで経っても距離はゼロにはならない。これも落ち着いて考えればすぐに分かるように、「÷2」を繰り返しているだけだから、答えは限りなく小さくなってもゼロになることはない。

逆にゼロになってしまうと新たな問題が生じる。0×2×2×2…と2をかけ続けたら、いつか1や2になるのと同じだから、ゼロの定義が根本的に崩れてしまう。つまり半分ずつ食べるパンも、うさぎとカメの話も、パラドックスやトリックなどと呼ぶ以前に、当たり前の話なのだ。

まとめ

もし毎日おこづかいをねだられたら、初日は1万円、2日目以降は前日の半額を渡す約束にしてみよう。

一日1万円から始まるので相手は得した気分になるだろうが、何年経っても総額2万円を超えることはない。ただし5日目以降は1円未満が発生するので、どうやって支払うかが問題だが。

(関口　寿/ガリレオワークス)

※この記事は2013年11月24日に公開されたものです